1. 贝叶斯过滤器
在本文中，我总结了一些著名的状态空间模型。这里我不会详细展开，而是专注于整体地图以获得概览。所有这些状态空间模型都源自贝叶斯滤波器。在这些模型中，考虑了两个随机过程。第一个过程是状态 xₜx_t，第二个过程是观测或测量 yₜy_t，其中ₜ表示“时间”，但通常这些过程不仅限于时间序列。我们对状态的真实值感兴趣，但我们只能观察到观测值。因此，状态空间模型旨在基于观测值估计状态。需要解决两种关系：
- 状态到状态的概率 P(xt∣x1:t−1)P(x_t | x_{1:t-1})
- 状态到观测的概率 P(yt∣xt)P(y_t | x_t) 任何两个观测之间都没有 直接 关系。一个常见的假设是马尔可夫性质，即假设当前状态仅取决于前一个状态，即 P(xt∣x1:t−1)=P(xt∣xt−1)P(x_t | x_{1:t-1})=P(x_t|x_{t-1})。
2. 预测和更新
状态空间模型具有递归两步的在线算法。预测是基于分布p(xt−1∣y1:t−1)来估计后验分布p(xt∣y1:t−1)，其中分布p(xt−1∣y1:t−1)根据状态转移概率P(xt∣xt−1)进行。从数学上讲，
p(xt∣y1:t−1) =∫p(xt∣xt−1)p(xt−1∣y1:t−1)dxt−1 p(x_t|y_{1:t-1})= ∫p(x_t|x_{t-1}) p(x_{t-1}|y_{1:t-1}) dx_{t-1}
更新是基于最新观测 yty_t 更新先前分布。数学上，
p(xt∣y1:t)=p(yt∣xt)p(xt∣y1:t−1)/p(yt)∝p(yt∣xt)p(xt∣y1:t−1) p(x_t | y_{1:t})= p(y_t|x_t) p(x_t|y_{1:t-1}) /p(y_t) \propto p(y_t|x_t) p(x_t|y_{1:t-1})
3. 建模考虑
贝叶斯滤波器通过后验分布p(xt∣y1:t)p(x_t | y_{1:t})估计xtx_t。通常，在建模实际问题时，无法直接获得状态到状态概率和状态到观测概率。相反，它们应该从预测模型xt=f(xt−1)x_t=f(x_{t-1})和测量模型yt=g(xt)y_t=g(x_t)中推断出来。而且必须回答一系列问题：
- Is state xtx_t discrete or continuous?
- What is the distribution of xtx_t?
- Is the prediction model linear or nonlinear?
- Is the measurement model linear or nonlinear? According to different answers to these questions, we have different filters as follows.
4. 贝叶斯滤波器的分类
根据状态 xtx_t 是离散还是连续，贝叶斯滤波器分为离散滤波器和连续滤波器。当状态 xtx_t 只能取离散值时，状态转移概率可以用转移矩阵 A=[ai,j]A=[a_i,j] 表示，其中 ai,j=P(xt=j∣xt−1=i)。
基于 xtx_t 的分布是否假定为特定格式，连续贝叶斯滤波器分为参数化滤波器和非参数化滤波器。例如，在高斯滤波器中，假定 xtx_t 的分布为多元正态分布。基于这一假设，后验分布 p(xt∣y1:t)p(x_t|y_{1:t}) 可以被明确地以闭合形式表达。另一方面，非参数化滤波器不对 xtx_t 的分布做任何假设，而是使用一些技术来近似分布。例如，xtx_t 的分布可以用直方图（直方图滤波器）或从目标分布中抽取的大量样本（粒子滤波器）来表示。非参数化滤波器近似分布，并且不对预测模型 xt=f(xt−1)x_t=f(x_{t-1}) 和测量模型 yt=g(xt)y_t=g(x_t) 施加任何限制，因此在各种情况下具有灵活性。然而，由于没有闭合形式表达，计算负载很重，近似越好，计算负担就越重。
高斯滤波器假设 xtx_t 的分布为多元正态分布。在经典卡尔曼滤波器中，预测模型 xt=f(xt−1)，测量模型 yt=g(xt) 被假定为线性，以保持正态性。具体来说，xt=Atxt−1+ϵt，yt=Bxt+δt。卡尔曼滤波器的衍生物，如扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器，放宽了线性关系的假设，但通过泰勒展开等线性化技术进行近似。信息滤波器及其衍生物与卡尔曼滤波器家族本质上相同，多元正态分布的信息表达为Ω=Σ−1，ξ=Ωμ。
混合滤波器是参数化滤波器和非参数化滤波器的混合体，其中假定某些状态维度以特定格式表示，而其他维度则采用非参数化技术表达。